パーマで脱毛

　脱毛してしまったことにつき店側に過失があるのであれば，当然店側に損害賠償請求をすることができ，脱毛の原因が，パーマで使用されたパーマ液の欠陥だということであれば，製造物責任法に基づきメーカーに損害賠償請求をすることができますが，ご質問ではそうした過失や欠陥に関する事項が不明であるため，それだけでは訴えることができるかどうかお答えすることは出来ません。
　なお，お店との関係については，治療費等の支払いにつき和解契約が成立していると解する余地がありますが，支払った金額について領収書を書いてくれというのは法律上正当な要求であり，債務の弁済と支払証書（領収書）の交付とは同時履行の関係にあると解されているため，少なくとも「支払った領収書をくれないと払えない」というのは法律上正当な主張です。したがって，領収書の交付には応じる必要があり，応じない場合は仮に訴訟に持ち込んだ場合にも不利になると考えられます。